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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el trabajo w realizado

por una fuerza w = f.d,el volumen v de un cilindro circular recto , el área de un triángulo A = b.h, son todas funciones de dos variables. El volumen de una caja rectangular V = V (l,a,h) = l . a . h es una función de tres variables.



Funciones de dos variablesEn el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:

se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f.


Gráfica de una función de dos variables

Observación : de manera análoga podemos definir funciones de tres o mas variables, En todo caso el dominio será un subconjunto dey el recorrido un subconjunto de. Para efectos del curso nos limitaremos ha estudiar los casos


Ejemplo 1
Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones
1.

2.


Solución
Para hallar el dominio de f recuerde que el argumento de la raiz cuadrada debe ser positivo o cero:

Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura 1.

Figura 1: dominio de f(x,y)

Para hallar el dominio de g recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo :

Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábola misma, esto se muestra en la figura 2.


Figura 1: dominio de g(xam,y)
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable

Suma y resta:
Producto:
Cociente:
La función compuesta dada por se define solamente si es una función de dos variables y una función de una única variable. En este caso

Para todo par en el dominio de . Por ejemplo, la función



Puede verse como la composición de la función de dos variables


y la función de una variable
Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma (donde c es un número real, son enteros positivos) se conoce como función poli nómica de dos varibles.Por ejemplo, la función


es una función poli nómica.
Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.
Ejemplo 2
Determine el dominio de la función


Solución
Como cada uno de los radicales debe ser no negativo, tenemos que

Lo cual corresponde al anillo que se muestra en la figura 3.
Figura 3: dominio de f(x,y)

Funciones de dos

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variables
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenada
Gráfica de una función de dos variables

Al igual que sucedía con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen z= f (x, y), con (x, y) en el dominio de f. En la figura 12.2 se ve que la gráfica de z= f (x, y) es una superficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada (x, y) en D le corresponde un punto (x, y, z) en la superficie y, recíprocamente a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) de D.

Curvas y superficies de nivel

Otra forma de visualizar una función de dos variables consiste en utilizar un campo escalar en el que se asigna al punto (x, y) el escalar z= f (x, y). Un campo escalar queda caracterizado por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor de f (x, y) es constante.



Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a las líneas de altura constante sobre el nivel del mar. Los mapas de ese tipo se llaman mapas topográficos



Un mapa de contorno traduce la variación de z respecto de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel significa que z está variando lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quieren decir que z cambia muy de prisa.



Además, para proporcionar una ilusión tridimensional adecuada en un mapa de contorno, es importante elegir los valores de c espaciados de manera uniforme.



DIBUJO DE UN MAPA DE CONTORNO


EJEMPLO 1: la figura de abajo muestra el hemisferio dado por . Dibujar un mapa de contorno para esta superficie utilizando curvas de nivel correspondientes a

Solucion:

Para cada valor de c, la ecuación f (x, y) = c representa un círculo (o un punto) en el plano xy. Así, para c1 = 0 la curva de nivel es:


En un círculo de radio 8 la figura de arriba a la derecha muestra las nueve curvas de nivel para el hemisferio.

DEFINICIÓN DE SUPERFICIES DE NIVEL



Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. Si f es una función de tres variables y c una constante la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la función f. tal como se muestra en la figura siguiente.

Límites y continuidadEl estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto , como lo muestra la figura 1. Figura 1. Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de .

Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco cerrado

Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco cerrado

Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera , el valor deestá entre y , como se ilustra en la figura

Figura 2.
Como ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos que el punto se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el valor de



no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a , entonces el límite no existe

	Definición (Continuidad en un punto)
	Sea una función de dos variables, sea y sea un disco abierto centrado en y de radio , decimos que es continua en ese punto si f(x,y) existe y si el L f(x,y) existe y ambos son iguales. Decimos que es continua en la región si es continua en cada punto de la región.

Las derivadas parciales
Considérese la función
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Si x, y, z varían entonces f(x, y, z) varía, y tiene sentido preguntarse, por ejemplo, por las razones de cambio y por las derivadas. Esto se hace de la siguiente forma: se considera que 2 de las variables son fijas, como constantes, y se calcula la derivada para la otra variable.

Derivadas parciales de orden superior
La segunda derivada parcial (y en general todas las de orden superior) también se pueden calcular.
Si = 2x, se repite el procedimiento para esta expresión
= 2
y se denota por (el 2 indica que se trata de la segunda derivada parcial) o por Df..
Ahora bien, si se empieza con (manteniendo y y z constantes), luego se puede seguir calculando la derivada parcial de con relación a y. Esto se escribe
o Df o Df

-Las diferentes propiedades que hemos estudiado en las funciones de una variable se pueden generalizar y adaptar a funciones de varias variables.