MAXIMOS Y MINIMOS
Para determinar si un punto crítico (a,b) se realiza la prueba de la 2da derivada, siguiendo los siguientes pasos:
1. Hallar las derivadas parciales de f(x,y) : fx, fy
2. Igualar estas derivadas a 0 y encontrar los puntos críticos: fx=0 ^fy=0
3. Hallar las segundas derivadas : fxx, fxy y fyy
4. Determinar:
A=fxx|(xo,yo) B=fxy|(xo,yo) C=fyy|(xo,yo)
5. Formar el determinante Jessiano
D=A*B-C^2
6. Si:
D>0; A<0 el punto crítico (xo,yo) representa un máximo relativo
D>0; A>0 el punto crítico (xo,yo) representa un mínimo relativo
D<0 punto crítico (xo,yo) representa un punto de silla
D=0 la existencia del máximo o mínimo es indeterminada
-MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
Toda función diferenciable en una región acotada y cerrada alcanza un valor máximo o mínimo ó en un un punto estacionario, ó en un punto de la frontera de la región
-MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS CONDICIONALES (MULTIPLICADORES DE LAGRANGE)
Se denomina extremo condicionado de una función f(x,y) al valor máximo o mínimo de esta funcion alcanzada con la condición (restricción) de que las variables independientes están relacionadas con una ecuación de enlace: g(x,y)=0
Para obtener estos puntos extremos se utiliza la siguiente expresión:
F(x,y, λ)=f(x,y)+λ*g(x,y)
Luego de esto se procede a derivar parcialmente la expresión con respecto a x a y y a λ, para hallar los puntos críticos
Si se tiene mas condiciones, simplemente se agrega otro multiplicador de Lagrange y se realiza el mismo proceso.
INTEGRALES MÚLTIPLES
- INTEGRALES SOBRE REGIONES RECTANGULARES
En este caso, las integrales se dan sobre regiones acotadas por un rectángulo de vértices (a,b,c,d), en donde la integral toma la forma de:
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estas se denominan integrales iteradas y pueden realizarse solo sobre regiones rectangulares
-INTEGRALES SOBRE REGIONES GENERALES
En muy pocos casos, la región sobre la que se acota una integral múltiple es rectangular, por lo que se debe realizar algunos "artilugios" matemáticos para facilitar la resolución.
Se debe dejar una de las variables independientes en función de la otra para proceder a la integración, por lo que se dan dos casos:
Se despeja la y en función de la x y se procede a la integral de la siguiente forma:
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En donde la x toma valores constantes (a,b) y la y toma valores entre G1 y G2
Es el caso contrario del anterior
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En donde la y toma valores constantes (a,b) y la x toma valores entre H1 y H2
- TRANSFORMACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES
coordenadas cilíndricas:
coordenadas esféricas:
Es el punto donde se concentra toda la masa de un cuerpo. Se puede tener los siguientes casos:
1. Caso Discreto
Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia, por lo que se puede encontrar el centro de masa fácilmente:
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2. Si se trata de "n" masas
En este caso, simplemente se generaliza la fórmula anterior, haciendo uso de la sumatoria.
c. Caso continuo
Se trata cuando el número de masas n tiende al infinito, para lo que se debe usar las integrales:
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Distribución de masa superficial(cuerpos con dos dimensiones)
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Distribución de masa volumétrica (cuerpos con tres dimensiones)
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momento de inercia
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CAMPOS VECTORIALES
Un campo vectorial se define como una función que se define sobre un vector en Rn, es decir, un vector que se transforma en otro vector gracias a una función f
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Si f es una función de tres variables que es continua en alguna región que contiene a C, entonces la integral de linea a lo largo de f es:
Integrales de Linea de Campos Vectoriales
Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por una funcion vectorial r(t), a < t < b. Entonces la integral de linea de F a lo largo de C es:
Teorema Fundamental de las Integrales de Linea
1. Hallar las derivadas parciales de f(x,y) : fx, fy
2. Igualar estas derivadas a 0 y encontrar los puntos críticos: fx=0 ^fy=0
3. Hallar las segundas derivadas : fxx, fxy y fyy
4. Determinar:
A=fxx|(xo,yo) B=fxy|(xo,yo) C=fyy|(xo,yo)
5. Formar el determinante Jessiano
D=A*B-C^2
6. Si:
D>0; A<0 el punto crítico (xo,yo) representa un máximo relativo
D>0; A>0 el punto crítico (xo,yo) representa un mínimo relativo
D<0 punto crítico (xo,yo) representa un punto de silla
D=0 la existencia del máximo o mínimo es indeterminada
-MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
Toda función diferenciable en una región acotada y cerrada alcanza un valor máximo o mínimo ó en un un punto estacionario, ó en un punto de la frontera de la región
-MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS CONDICIONALES (MULTIPLICADORES DE LAGRANGE)
Se denomina extremo condicionado de una función f(x,y) al valor máximo o mínimo de esta funcion alcanzada con la condición (restricción) de que las variables independientes están relacionadas con una ecuación de enlace: g(x,y)=0
Para obtener estos puntos extremos se utiliza la siguiente expresión:
F(x,y, λ)=f(x,y)+λ*g(x,y)
Luego de esto se procede a derivar parcialmente la expresión con respecto a x a y y a λ, para hallar los puntos críticos
Si se tiene mas condiciones, simplemente se agrega otro multiplicador de Lagrange y se realiza el mismo proceso.
INTEGRALES MÚLTIPLES
- INTEGRALES SOBRE REGIONES RECTANGULARES
En este caso, las integrales se dan sobre regiones acotadas por un rectángulo de vértices (a,b,c,d), en donde la integral toma la forma de:
estas se denominan integrales iteradas y pueden realizarse solo sobre regiones rectangulares
-INTEGRALES SOBRE REGIONES GENERALES
En muy pocos casos, la región sobre la que se acota una integral múltiple es rectangular, por lo que se debe realizar algunos "artilugios" matemáticos para facilitar la resolución.
Se debe dejar una de las variables independientes en función de la otra para proceder a la integración, por lo que se dan dos casos:
- x = constante
Se despeja la y en función de la x y se procede a la integral de la siguiente forma:
En donde la x toma valores constantes (a,b) y la y toma valores entre G1 y G2
- y = constante
Es el caso contrario del anterior
En donde la y toma valores constantes (a,b) y la x toma valores entre H1 y H2
- TRANSFORMACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES
coordenadas polares:
coordenadas cilíndricas:
coordenadas esféricas:
Centro de masa
1. Caso Discreto
Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia, por lo que se puede encontrar el centro de masa fácilmente:
2. Si se trata de "n" masas
En este caso, simplemente se generaliza la fórmula anterior, haciendo uso de la sumatoria.
c. Caso continuo
Se trata cuando el número de masas n tiende al infinito, para lo que se debe usar las integrales:
donde:
Para todos los casos presentados, se puede definir un punto o vector de centro de masa:
Distribución de masa lineal (cuerpos con una sola dimensión)
Distribución de masa superficial(cuerpos con dos dimensiones)
Distribución de masa volumétrica (cuerpos con tres dimensiones)
momento de inercia
CAMPOS VECTORIALES
Un campo vectorial se define como una función que se define sobre un vector en Rn, es decir, un vector que se transforma en otro vector gracias a una función f
Integrales en Linea
Una integral de linea se diferencia de una integral normal que integra una función en dos limites (a,b), en que esta lo hace a lo largo de una curva, por lo que algunos autores describen a este tipo de integrales como integrales curvilíneas.
Definición
Si f se define en un curva C uniforme, entonces la integral de linea a lo largo de f es:
Integrales de Linea en el Espacio
Si f se define en un curva C uniforme, entonces la integral de linea a lo largo de f es:
Integrales de Linea en el Espacio
Si f es una función de tres variables que es continua en alguna región que contiene a C, entonces la integral de linea a lo largo de f es:
Integrales de Linea de Campos Vectoriales
Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por una funcion vectorial r(t), a < t < b. Entonces la integral de linea de F a lo largo de C es:
Teorema Fundamental de las Integrales de Linea
Sea C una curva uniforme definida por la función vectorial r(t), a<t<b. Sea f la función derivable de dos o tres variables cuyo vector gradiente es continuo en C. Entonces:
El teorema de Green: primera versión
| La fórmula que estudiaremos se debe a George Green (vea una pequeña biografía pinchando en el nombre, y verá que no es tan terriblemente malo no asistir a clases). Empezaremos por el final. La fórmula esencial del teorema de Green es como sigue: | |||||||
 (1) | |||||||
| Y enseguida intentaremos explicar los diferentes elementos matemáticos involucrados. En primer lugar la relación entre R y C, es como lo indica la Figura 1. | |||||||
|
| La primera integral es simplemente la integral de línea del campo vectorial j ( x, y ) sobre la curva cerrada C, esto es |
 |
| toda vez que j ( x, y ) = L( x, y ) i + M( x , y ) j, y además dr = dx i + dy j. |
| De modo que lo primero que anuncia el trabajo de Green es que la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva cerrada en el plano es igual a una integral doble de una determinada función de dos variables sobre la región contenida al interior de la curva cerrada C. |
| Nota importante: la orientación de la curva sigue la "regla del tornillo" o de orientación positiva, esto es en el sentido contrario a las manecillas de un reloj antiguo (no sirve reloj digital). |
| Un aplicación importante de este resultado es el siguiente. Usted sabe que el área de una región R como la de la Figura 1 está dada por la doble integral siguiente |
 (2) |
| Luego esta integral en comparación con la segunda integral en (1) se consigue cuando L( x, y ) = 0 y M( x , y ) = x, de modo que tenemos un primer resultado |
 (3) |
| Donde C es la curva, orientada positivamente, que rodea a la región R. De modo que, si la segunda integral de línea es sencilla, nos permitirá el cálculo de áreas sencillas. |
| Otra manera de conseguir una expresión para el cálculo del área de una región R como en la figura siguiente es haciendo, conforme a la expresión en (1), L( x, y ) = - y , M( x , y ) = x. De esta forma obtenemos que |
 (4) |
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