Diciembre

Derivadas de orden superior

Si $f$ es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como: 
$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para $x$ en el dominio $M$ de $f$. 
Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función $f$ que se denota por $f''(x)$ o $D_{x}^{2}f(x)$, que equivale a $D_{x}[D_{x}f(x)]$. O sea, la segunda derivada de la función $f$ se obtiene derivando la primera derivada de la función. 
Ejemplos: 
  1. Si $f(x)=5x^{3}+6x^{2}-5x+1$ entonces: $f'(x)=15x^{2}+12x-5$ y 
    $f''(x)=30x+12$ 
  2. Si $\displaystyle{g(x)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}}$ entonces: $\displaystyle{g'(x)=\frac{(x-1)(2x+3)-(x^{2}+3x)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$ y derivando nuevamente 
    $\displaystyle{g''(x)=\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^2-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^{2}-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)[(x-1)(2x-2)-(x^{2}-2x-3)]}{(x-1)^{4}}}$ 
    Por tanto $\displaystyle{g''(x)=\frac{8}{(x-1)^{3}}}$ 
Similarmente podemos decir que la derivada de $D_{x}^{2}f(x)$ respecto a "x" es la tercera derivada de $f$ respecto a "x" que se denota $D_{x}^{3}f(x)$ o $f'''(x)$. 
La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada $D_{x}^{4}f(x)$ y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de $f$ que se denota por $D_{x}^{n}f(x)$ o $f^{(n)}(x)$. Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden

 Incrementos Y Diferenciales:

El INCREMENTO de una función f, según su definición habitual, es la diferencia de su valor en dos puntos distintos, separados una cierta distancia. Interesa aquí el caso en que los dos puntos estén separados una distancia diferencial. Nos referiremos a este caso en lo sucesivo, y denotaremos Df al incremento de f entre un punto (x, y,..., z) y otro (x+dx, y+dy,..., z+dz) donde dx,..., dz son diferenciales de las variables respectivas.
Aunque el orden de exposición no sea riguroso (el concepto de diferencial es anterior al de desarrollo en serie), en el presente contexto nos permitiremos obtener el valor del incremento a partir del desarrollo en serie de Taylor, para destacar sus similitudes. Considerando que d es diferencial en las expresiones de Taylor para una y dos variables, se obtiene respectivamente:
En ambos casos el incremento se obtiene como producto de diferenciales de variables por derivadas de la función, más infinitésimos de orden superior. Llamamos DIFERENCIAL de la función al primer término del desarrollo en serie del incremento. En los casos de una y dos variables anteriores, tenemos:
df(x) = f,x dx
df(x,y) = f,x dx + f,y dy 
Para mayor número de variables independientes, la expresión del diferencial se obtiene de forma análoga. Cabe resaltar algunos hechos acerca de los diferenciales:
  •  El valor del incremento, y del diferencial, dependen de la distancia y posición relativa entre el punto considerado y el próximo de su entorno (que está a distancias dx, dy, ... en las direcciones respectivas).
  •  El diferencial nos da el valor del incremento, salvo diferenciales de orden superior. Para funciones de una variable puede interpretarse como el incremento que se obtendría siguiendo la recta tangente al punto considerado, en lugar de la curva real que representa a la función.
Derivadas Direcionales Y Vector Gradiente
 Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).
Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

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